Las funciones inversas no son inversos multiplicativos

Echando un vistazo en Yahoo! Respuestas me encontré con la siguiente pregunta:

¿Cuál es la inversa de una función trigonométrica?

Necesito ejemplos, porque me explicaron que para sacar una integral por partes

para encontrar cuál es debía seguir el siguiente orden

1. inversa trigonométrica
2. logaritmo
3. polinomio
4. exponencial
5. trigonométrica

Pero yo creía que la inversa de una trigonométrica es otra trigonométrica

Suele existir una confusión con el término “inversa” cuando se aplica a funciones, porque se entiende en el sentido de “inverso multiplicativo”. Definimos este enseguida:

Inverso multiplicativo
Dados dos números reales, y , se dice que es el inverso multiplicativo de si se cumple que

Por ejemplo: el inverso multiplicativo de 2 es porque .

(Nótese que la relación es simétrica, es decir, si es inverso multiplicativo de , también es inverso multiplicativo de )

Sin embargo, tratándose de funciones el término inversa se refiere a algo muy diferente, en particular, a otra función:

Función inversa
Dada una función su función inversa es una función, digamos , que compuesta con y aplicada a , da como resultado otra vez . Es decir, para todo en donde esté definida.

¿Complicado? En realidad, no tanto.

Por jemplo:
La función es la función inversa de la función , porque:

Otro ejemplo:
La función exponencial es la función inversa de la función logaritmo natural , porque:

(Si no te resulta claro, puedes verificar lo anterior utilizando una calculadora científica)

Ahora, según lo expuesto y volviendo a la pregunta original, nos damos cuenta de que la inversa de una función trigonométrica no es otra función trigonométrica, sino una función que compuesta con ella da como resultado el argumento en que se evalúe la composición.

Tomemos la función . ¿Quién debería ser su función inversa? Pues alguna otra función, digamos , tal que para todos los en el conjunto donde está definida. Esa función existe, se llama función arcoseno y se le representa por .

Un problema aquí es que en algunos textos en vez de escribir escriben , con lo cual se comete un abuso de notación y se abona a la confusión, porque entonces se piensa que con se está representando al inverso multiplicativo de la función seno, es decir a , lo cual es incorrecto.

A continuación pueden ver las gráficas de ambas funciones:

Y el código de R utilizado para generarlas:

# Gráfica de las funciones sen(x) y arcsen(x) en el intervalo [-pi/2,pi/2]

# Generamos una secuencia de 100 números entre -pi/2 y pi/2, ambos inclusive
x <- seq(-pi/2,pi/2,length=100)

# Evaluamos la función sen(x) en esa secuencia
y <- sin(x)

# Obtenemos la gráfica de y = sen(x)
plot(x,y,type="l",col="blue",main="y = sen(x)",xlab="X",ylab="Y")
# Graficamos los ejes coordenados
abline(h=0,v=0,col="red")

# Calculamos y = arcsen(x)
x2 <- asin(y)

# Abrimos una nueva ventana para gráficos
windows()
# Obtenemos la gráfica de y = arcsen(x)
plot(y,x2,type="l",col="blue",main="y = arcsen(x)",xlab="X",ylab="Y")
# Graficamos los ejes coordenados
abline(h=0,v=0,col="red")