Reloj algebráico, a destiempo

Febrero 18, 2009 — elProf

Ayer, leyendo el Fanzine de Malbicho me encontré con que ella había tenido el detalle de dejarme un regalo, junto con otros para varios de sus comentaristas :) .

Pues ahí tienen que mi regalo consistía en este reloj:

Reloj algebráico

Reloj algebráico

Curioso como soy, me puse a hacer las cuentitas y resulta que encontré un par de errores, según le comenté después a Malbicho en los comentarios de su entrada, que también quise ocupar para escribir este post (¿será que escasean las ideas? No, más bien el tiempo, y esta idea ya está desarrollada :) ).

Los errores están a las 7:00 y a las 9:00, y son los siguientes:

7:00
Está definida mediante la ecuación cuadrática
52 - x^2 + x = 10 — (1)
que al reacomodar términos se convierte en
x^2 - x - 42 = 0 — (2)

Bien, pues por el Teorema Fundamental del Álgebra, la ecuación (2) tiene dos soluciones, a saber:
(x + 6)(x - 7) = 0
x = - 6 \; \vee \; x = 7

La que nos es de utilidad es x = 7, y la otra, x = -6 la desechamos puesto que no es útil de acuerdo con el contexto, lo cual salva parcialmente el error que mencionamos al inicio; sin embargo, existe.

9:00
Esta hora está definida mediante la expresión
3(\pi - 0.14)
Esta es correcta solamente si usamos aritmética de precisión finita con tres cifras significativas (es decir, dos decimales), porque en tal caso sí tenemos que \pi = 3.14, pero con una precisión mayor, no:

Algunos decimales de pi

Algunos decimales de pi

(la imagen la tomé de acá, pero ellos no citan la fuente y no sé si son los autores, pero lo dudo)

Si tomáramos, por ejemplo, los primeros 5 decimales de \pi, tendríamos:
3(\pi - 0.14) = 3(3.14159 - 0.14) = 3(3.00159)
= 9.00477 = 9 hrs 0 min 17.17 seg
por eso en la bitácora de Malbicho comenté que ese reloj estaría ligeramente adelantado al llegar a las supuestas 9.

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Las funciones inversas no son inversos multiplicativos

Noviembre 22, 2007 — elProf

Echando un vistazo en Yahoo! Respuestas me encontré con la siguiente pregunta:

¿Cuál es la inversa de una función trigonométrica?

Necesito ejemplos, porque me explicaron que para sacar una integral por partes
\int f\cdot g'=f\cdot g - \int f'\cdot g
para encontrar cuál es f debía seguir el siguiente orden

  1. inversa trigonométrica
  2. logaritmo
  3. polinomio
  4. exponencial
  5. trigonométrica

Pero yo creía que la inversa de una trigonométrica es otra trigonométrica

Suele existir una confusión con el término “inversa” cuando se aplica a funciones, porque se entiende en el sentido de “inverso multiplicativo”. Definimos este enseguida:

Inverso multiplicativo
Dados dos números reales, a y b, se dice que b es el inverso multiplicativo de a si se cumple que a \times b=1

Por ejemplo: el inverso multiplicativo de 2 es \frac{1}{2} porque 2\times \frac{1}{2}=1.

(Nótese que la relación es simétrica, es decir, si a es inverso multiplicativo de b, también b es inverso multiplicativo de a)

Sin embargo, tratándose de funciones el término inversa se refiere a algo muy diferente, en particular, a otra función:

Función inversa
Dada una función f su función inversa es una función, digamos g, que compuesta con f y aplicada a x, da como resultado otra vez x. Es decir, g(f(x)) = x para todo x en donde f esté definida.

¿Complicado? En realidad, no tanto.

Por jemplo:
La función g(y) = y^2 es la función inversa de la función f(x) = \sqrt{x}, porque:
g(f(x)) = g(\sqrt{x}) = \left(\sqrt{x}\right)^2 = x

Otro ejemplo:
La función exponencial g(y) = e^y es la función inversa de la función logaritmo natural f(x) = ln(x), porque:
g(f(x)) = g(ln(x)) = e^{ln(x)} = x

(Si no te resulta claro, puedes verificar lo anterior utilizando una calculadora científica)

Ahora, según lo expuesto y volviendo a la pregunta original, nos damos cuenta de que la inversa de una función trigonométrica no es otra función trigonométrica, sino una función que compuesta con ella da como resultado el argumento en que se evalúe la composición.

Tomemos la función f(x) = sen(x). ¿Quién debería ser su función inversa? Pues alguna otra función, digamos g, tal que g(f(x)) = x para todos los x en el conjunto donde f está definida. Esa función existe, se llama función arcoseno y se le representa por arcsen.

Un problema aquí es que en algunos textos en vez de escribir arcsen(y) escriben sen^{-1}(y), con lo cual se comete un abuso de notación y se abona a la confusión, porque entonces se piensa que con sen^{-1}(y) se está representando al inverso multiplicativo de la función seno, es decir a \frac{1}{sen(y)}, lo cual es incorrecto.

A continuación pueden ver las gráficas de ambas funciones:
y = sen(x)

y = arcsen(x)

Y el código de R utilizado para generarlas:

# Gráfica de las funciones sen(x) y arcsen(x) en el intervalo [-pi/2,pi/2]

# Generamos una secuencia de 100 números entre -pi/2 y pi/2, ambos inclusive
x <- seq(-pi/2,pi/2,length=100)

# Evaluamos la función sen(x) en esa secuencia
y <- sin(x)

# Obtenemos la gráfica de y = sen(x)
plot(x,y,type="l",col="blue",main="y = sen(x)",xlab="X",ylab="Y")
# Graficamos los ejes coordenados
abline(h=0,v=0,col="red")

# Calculamos y = arcsen(x)
x2 <- asin(y)

# Abrimos una nueva ventana para gráficos
windows()
# Obtenemos la gráfica de y = arcsen(x)
plot(y,x2,type="l",col="blue",main="y = arcsen(x)",xlab="X",ylab="Y")
# Graficamos los ejes coordenados
abline(h=0,v=0,col="red")

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