Lacónico aleatorio 001

…
— ¿Y qué piensas hacer entonces? — preguntó el Profesor.

Gaetano volvió a tomar el libro que estaba sobre el escritorio y lo abrió en la sección que se refería a los mapas de Karnaugh.

— Supongo que decirles que podemos intentar resolver el problema, pero que no soy especialista en ello.

— Con eso lo único que conseguirás será que le den el trabajo a alguien más, quien con una alta probabilidad no lo hará mejor que tú — dijo el Profesor tras levantar una ceja.

— ¿Por qué piensa usted eso?

— Porque mucha gente prefiere que le digan que todo es felicidad antes que oír que le prevengan sobre las dificultades que un trabajo bien hecho implica.

— La mesura y la auto crítica son características harto deseables en una persona.

— Concuerdo; pero para desgracia de los altamente capaces y mesurados como tú hay varios de capacidad apenas mediana con una amplia facilidad para primero lanzarse a la jaula del tigre y después preocuparse por cómo lo irán a domar… sobre todo si saben que tal amansamiento tendrá lugar fuera de miradas escrutadoras.

— No lo sé, Profesor. A mí me sigue pareciendo que es mucho más honesto reconocer las propias limitaciones.

— Pues pensamos igual; sin embargo he visto en varias ocasiones a zopencos con más labia que seso convencer al no menos cerril patrón valiéndose solamente de su cinismo. Además, tal circunstancia tiene como resultado, casi invariablemente, que aquél quien podría haberlo hecho mucho mejor, no consiga el trabajo. Con que, diles que puedes y que lo harás. Deja las dudas existenciales para cuando haya que poner manos a la obra.
…

ImageChef, creador de imágenes con texto personalizado

Leyendo El Fanzine de Malbicho (ahora que escribo este nuevo enlace a tu bitácora, pienso que ya te voy a cobrar regalías por clic obtenido … pero mejor no, porque entonces me vas a cobrar derecho de pensión por el artículo que me enviaste hace tres estaciones — a saber, invierno, otoño y verano — y no he publicado :-S. Ok, sale, no digo nada de los envíos y tú haces como que se te olvida una estación más que tengo tu artículo en el refrigerador ) me encontré un comentario de RBC (eso estuvo peligrosamente cerca de RBD, ¡puaj!… pero afortunadamente no tiene nada que ver ) quien, por un lado y para sorpresa mía muestra ser más paranóica que yo, porque tiene muy poca información sobre sí misma en su perfil, y en la bitácora mucha menos; y por otro me dio una grata impresión al leerle en su bitácora De todo un poco… y que dios nos coja confesados (que ¿quién?… nos ¿quééé? . Bueno, ya hablaré de mi ateísmo en otra entrada y lo otro es un iberismo para que nos tome, atenace, asa y no lo que Malbicho se estaba imaginando )… ejem… y ¿en qué estaba antes de comenzar las cavilaciones?… ¡ah, sí! en que me gustó la bitácora de RBC, y entre lo interesante que encontré en ella (en la bitácora) están algunas ilustraciones creadas con una herramienta en línea que permite personalizar imágenes de un catálogo con texto introducido por el usuario.

El sitio en cuestión se llama ImageChef y ofrece algunas opciones interesantes, como las que presento a continuación:

Para que recuerden el nombre de esta bitácora:

Sobre el tema se han escrito gruesos volúmenes:

Libro sobre Euclides

Libro sobre Bernoulli

Libro sobre Pascal

He aquí una respuesta a la pregunta de usuarios legos sobre ¿en dónde queda la condenada tecla “Any”?:

Al igual que algunas asociaciones contra las enfermedades cardiacas, uno de mis profesores de Estadística recordaba esto a nosotros, sus alumnos:

(Aunque tratándose de matemáticas, lo de los treinta minutos es demasiado optimismo)

Trataré de usar esta herramienta alguna otra ocasión. Lo que tengo qué reprocharle es que no permite introducir letras acentuadas ni símbolos que no sean parte del idioma Inglés.

Saludos

Reloj algebráico, a destiempo

Ayer, leyendo el Fanzine de Malbicho me encontré con que ella había tenido el detalle de dejarme un regalo, junto con otros para varios de sus comentaristas .

Pues ahí tienen que mi regalo consistía en este reloj:

Reloj algebráico

Curioso como soy, me puse a hacer las cuentitas y resulta que encontré un par de errores, según le comenté después a Malbicho en los comentarios de su entrada, que también quise ocupar para escribir este post (¿será que escasean las ideas? No, más bien el tiempo, y esta idea ya está desarrollada ).

Los errores están a las 7:00 y a las 9:00, y son los siguientes:

7:00
Está definida mediante la ecuación cuadrática
— (1)
que al reacomodar términos se convierte en
— (2)

Bien, pues por el Teorema Fundamental del Álgebra, la ecuación (2) tiene dos soluciones, a saber:

La que nos es de utilidad es , y la otra, la desechamos puesto que no es útil de acuerdo con el contexto, lo cual salva parcialmente el error que mencionamos al inicio; sin embargo, existe.

9:00
Esta hora está definida mediante la expresión

Esta es correcta solamente si usamos aritmética de precisión finita con tres cifras significativas (es decir, dos decimales), porque en tal caso sí tenemos que , pero con una precisión mayor, no:

Algunos decimales de pi

(la imagen la tomé de acá, pero ellos no citan la fuente y no sé si son los autores, pero lo dudo)

Si tomáramos, por ejemplo, los primeros 5 decimales de , tendríamos:

hrs min seg
por eso en la bitácora de Malbicho comenté que ese reloj estaría ligeramente adelantado al llegar a las supuestas 9.

Los amigos de elProf

Como menciono en la página de Acerca del autor, esta bitácora tiene como temas principales aquellos que son de mi mayor interés por estar ligados directamente con mi formación académica y mi área de enfoque docente en consecuencia: matemáticas, estadística y computación.

Sin embargo la anterior es una lista enunciativa y no limitativa, como también menciono en dicha página, puesto que hay varios otros temas que me resultan de interés y sobre los que busco incluir alguna breve referencia o reflexión.

A lo largo del breve tiempo que he navegado por la red de redes he tenido la ocasión y privilegio de conocer a personas que valoro como muy interesantes y que tienen en común una marcada pasión por las áreas del conocimiento que les interesan. Afortunadamente no todas esas áreas están relacionadas entre sí, mejor todavía, varias de esas áreas no tienen una relación directa con las matemáticas (por lo menos no obvia, pero ya estamos considerando encontrar la forma de ligarlas), por lo cual la inclusión de artículos referentes a ellas en esta bitácora traería una mayor diversidad y sería refrescante.

Es por tal motivo que he pedido a varios de mis amigos cibernéticos que realicen alguna colaboración para esta bitácora, dándonos a conocer qué les interesa, qué les molesta, qué quisieran cambiar en su ámbito de desarrollo profesional, en fin, que nos introduzcan a su mundo.

Felizmente, varias de ellas han accedido, y por tal motivo, los lectores podrán comenzar a leer sus artículos en breve. Tal es como declaro la apertura de la sección Los amigos de elProf. Espero sea de su agrado.

Referencias:
La imagen de la serie de televisión “Friends” (“Amigos”) la tomé de acá.

Está disponible R 2.8.0

Revisando las entradas anteriores de la bitácora noté que está disponible una versión más reciente de R que aquella que tenía enlazada directamente:

Está disponible la versión 2.8.0 de R, que puedes descargar desde Berkeley aquí:
Descarga R 2.8.0 (o posterior)

Por favor nota que esta liga se actualiza automáticamente desde el sitio del Proyecto R, por lo cual al pulsar en ella descargarás un archivo de instalación que contiene la versión más reciente del software (v. 2.8.1 al momento de esta actualización, 23 de marzo de 2009).

Si quieres saber más sobre R, puedes estar interesado en esta entrada.

Visita aquí la página del proyecto R, y visita acá la página de descargas de Berkeley.

Actualización:
A partir del 23 de marzo de 2009, la liga de la descarga conduce a la versión más reciente, de manera automática a través de un redireccionamiento hecho en la página del Proyecto R.

Matemáticas e informática en Futurama

Hace algunas semanas, encontré, curioseando por WordPress, un artículo sobre las múltiples referencias matemáticas e informáticas en la serie animada Futurama, y en la página principal se menciona que estas son debidas a que una buena parte del talento creador tiene algún grado académico en esas áreas o alguna otra de ciencias.

Aunque conozco la serie, en realidad nunca he visto un capítulo completo, así que no tenía idea de dichas referencias y me resultó sorprendente enterarme del particular. Por otro lado, supongo que solamente un grupo de desarrollo con un grado alto de inteligencia puede crear un personaje que de tan torpe resulta simpático como Homero Simpson (también puedes consultar sobre Homero J. Simpson en la Wikipedia).

Si visitas dicho sitio sobre Futurama, supongo que te divertirás un rato. Espero tratar de manera particular algunos de los temas que allí se mencionan en futuras entradas de la bitácora.

Te dejo aquí con un vídeo que resume los subtítulos bajo el texto Futurama de las entradas de las temporadas 1 a 4 de la serie. Espero te resulten agradables.

Referencias:

Sitio oficial de Los Simpson en la página de Fox:

Los Simpson

Referencias matemáticas e informáticas en Futurama:

Página principal : http://usuarios.lycos.es/bbrp/index.html

Matemáticas: http://usuarios.lycos.es/bbrp/matematicas.html

Informática: http://usuarios.lycos.es/bbrp/matematicas/informatica.html

Figuras imposibles: jugando con la percepción

Una figura imposible es

Una clase de ilusión en la cual un objeto que es físicamente irrealizable es, aparentemente, dibujado

Por ejemplo, la siguiente imagen, en donde observamos un cubo, aparentemente normal, hasta que notamos que algo “no encaja”: La arista que une el vértice central superior con el central inferior pasa por delante de una arista que une dos vértices que están por delante de aquellos dos, lo cual notamos no podría ocurrir si dicha figura existiera en realidad.

Este tipo de figuras juega con nuestra percepción dibujando en dos dimensiones representaciones de objetos que sería imposible observar en tres dimensiones. Por otro lado, esta característica las convierte en figuras que pueden resultar muy interesantes.

En muchas de las páginas de Internet en que se habla acerca de figuras imposibles, más tarde o más temprano sale a relucir el nombre de M.C. Escher, un artista gráfico holandés con una habilidad admirable para las matemáticas (en particular, la geometría), que le permitió crear muchas imágenes de este tipo y otras que plantean retos mentales al observador.

Hablaremos de Escher en una entrado posterior.

Referencias:
MathWorld, de Wolfram. Impossible figure. Consultado el 24 de abril de 2008
Wikipedia contributors, “Impossible object,” Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Impossible_object (consultado el 24 de abril de 2008 )

Imagen tomada de:
Cubo imposible

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Actualización:

A petición de Andrés, quien nos dejó un comentario al pie de esta entrada, presento algunas imágenes más:

Acá tenemos uno en escala de grises:

Cubo imposible

Acá, uno de madera:

Cubo imposible de madera

Y acá, una vista alternativa que nos muestra cómo se podría construir un artefacto de estos en la realidad:

Cubo imposible desde otro ángulo

Las funciones inversas no son inversos multiplicativos

Echando un vistazo en Yahoo! Respuestas me encontré con la siguiente pregunta:

¿Cuál es la inversa de una función trigonométrica?

Necesito ejemplos, porque me explicaron que para sacar una integral por partes

para encontrar cuál es debía seguir el siguiente orden

1. inversa trigonométrica
2. logaritmo
3. polinomio
4. exponencial
5. trigonométrica

Pero yo creía que la inversa de una trigonométrica es otra trigonométrica

Suele existir una confusión con el término “inversa” cuando se aplica a funciones, porque se entiende en el sentido de “inverso multiplicativo”. Definimos este enseguida:

Inverso multiplicativo
Dados dos números reales, y , se dice que es el inverso multiplicativo de si se cumple que

Por ejemplo: el inverso multiplicativo de 2 es porque .

(Nótese que la relación es simétrica, es decir, si es inverso multiplicativo de , también es inverso multiplicativo de )

Sin embargo, tratándose de funciones el término inversa se refiere a algo muy diferente, en particular, a otra función:

Función inversa
Dada una función su función inversa es una función, digamos , que compuesta con y aplicada a , da como resultado otra vez . Es decir, para todo en donde esté definida.

¿Complicado? En realidad, no tanto.

Por jemplo:
La función es la función inversa de la función , porque:

Otro ejemplo:
La función exponencial es la función inversa de la función logaritmo natural , porque:

(Si no te resulta claro, puedes verificar lo anterior utilizando una calculadora científica)

Ahora, según lo expuesto y volviendo a la pregunta original, nos damos cuenta de que la inversa de una función trigonométrica no es otra función trigonométrica, sino una función que compuesta con ella da como resultado el argumento en que se evalúe la composición.

Tomemos la función . ¿Quién debería ser su función inversa? Pues alguna otra función, digamos , tal que para todos los en el conjunto donde está definida. Esa función existe, se llama función arcoseno y se le representa por .

Un problema aquí es que en algunos textos en vez de escribir escriben , con lo cual se comete un abuso de notación y se abona a la confusión, porque entonces se piensa que con se está representando al inverso multiplicativo de la función seno, es decir a , lo cual es incorrecto.

A continuación pueden ver las gráficas de ambas funciones:

Y el código de R utilizado para generarlas:

# Gráfica de las funciones sen(x) y arcsen(x) en el intervalo [-pi/2,pi/2]

# Generamos una secuencia de 100 números entre -pi/2 y pi/2, ambos inclusive
x <- seq(-pi/2,pi/2,length=100)

# Evaluamos la función sen(x) en esa secuencia
y <- sin(x)

# Obtenemos la gráfica de y = sen(x)
plot(x,y,type="l",col="blue",main="y = sen(x)",xlab="X",ylab="Y")
# Graficamos los ejes coordenados
abline(h=0,v=0,col="red")

# Calculamos y = arcsen(x)
x2 <- asin(y)

# Abrimos una nueva ventana para gráficos
windows()
# Obtenemos la gráfica de y = arcsen(x)
plot(y,x2,type="l",col="blue",main="y = arcsen(x)",xlab="X",ylab="Y")
# Graficamos los ejes coordenados
abline(h=0,v=0,col="red")


n veces más

Hace algunos días, buscando alguna entrada interesante en otras bitácoras de WordPress, me encontré con una pregunta aparentemente muy fácil, perteneciente a un blogger que firma con el nombre de Miranda. Escribí un comentario al final de la página, pero por algún motivo que desconozco este nunca apareció. En fin, como el artículo se refiere a un tema que hacía tiempo traía yo entre manos repetiré aquí lo que escribí en ese comentario que, al parecer, se perdió en el limbo.

Comenzaré citando el post de Miranda:

Profundidad en el oceano

El oceano pacifico tiene una profundidad de 12,850 pies. El oceano artico tiene 4 veces mas de profundidad que el oceano pacifico. ?Cual es la profundidad del Oceano Artico?

Varios internautas habían ya respondido a la pregunta indicando que la respuesta era . ¿Muy fácil? Tal vez no tanto.

El comentario que intenté hacer iba en el siguiente sentido:

Me parece interesante que el autor haya hecho esta pregunta y habría que ver si no la planteó precisamente en esos términos para ver si estábamos atentos. Según lo veo, existen dos posibilidades:

1. Si la premisa dada está planteada inadecuadamente, y en realidad lo que se quería decir es que el océano Ártico TIENE CUATRO VECES la profundidad del Pacífico; entonces la respuesta de los otros participantes es correcta:
2. Por otro lado, si la afirmación es aritméticamente correcta y en realidad el Ártico tiene CUATRO VECES MÁS profundidad que el Pacífico, entonces aquél tiene UN TANTO de la profundidad de este MAS OTRAS CUATRO, lo cual, desde luego, hace CINCO tantos, y no cuatro, luego la profundidad del Ártico es

La siguiente parte de mi desaparecido comentario hacía referencia a que si fuera el segundo caso el que en verdad quiso ilustrar el autor, me parece de gran interés, ya que estaría haciendo mención de una situación que a últimas fechas se presenta en los anuncios comerciales en México, donde los publicistas se afanan en mostrarnos una y otra vez, sin el menor asomo de pudor, que no saben aritmética, ya que hacen este tipo de afirmaciones en más de uno de ellos.

Por ahora no recuerdo exactamente un ejemplo, pero si el lector radica en México muy probablemente recordará alguno de shampoo que dice algo en torno de: “…tu cabello estará TRES veces más fuerte…” y en la imagen se observa una leyenda que reza “300%”… pues que nos hagan favor de decidirse los señores propagandistas, porque si el cabello está tres veces MÁS…, entonces tiene 400% de la fuerza del cabello que se toma como referencia; o bien, si la fuerza que se logra con su producto es 300% en comparación con la débil cabellera de referencia, entonces se tiene solamente DOS veces más, y no tres.

Ya que el tema vino a colación, otra cosa que bien podría reprochársele a los publicistas es su proclividad a tomar formas de expresar las cosas de la lengua Inglesa y transferirlas casi de manera literal a algo que ellos creen es Castellano sin importales que con su falta de precisión lo único que consiguen es dañar ambas lenguas. Ejemplo claro es el que se observa cuando dicen que el producto dura dos veces, es decir, el doble (el número dos no les causa tantos problemas como del tres en adelante, al parecer), que el producto , y desenfadadamente hacen que el encargado del diseño gráfico nos muestre un aberrante . ¿Dos equis?, ¿como la cerveza? se pregunta uno; pero no, lo que pasa es que los muy avezados muchachones están pensando a la usanza anglosajona y tratan de usar el two times (así que hasta el simbolito está mal, porque debería ser ; pero supongo que ya sería demasiado pedirles que usaran para que les proporcionara el símbolo correcto) que en buen Castellano debe ser “DOS POR…”

Y usted, estimado lector, ¿considera que en algún momento aprenderán un poco de aritmética y redacción medianamente decente las víctimas de este artículo? Haga su apuesta.

Matemáticas

Insistiendo con el diccionario de la Real Academia Española (RAE), este define la matemática como la

 

“…ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, con números, figuras geométricas y símbolos y sus relaciones.”

La definición del diccionario de la RAE también menciona que la palabra matemática proviene

 

…del latín mathematĭca, y este del griego τὰ μαθηματικά, derivado de μάθημα, conocimiento.

Se dice que la matemática es la ciencia por excelencia y estoy de acuerdo con ello (aunque recuerdo que en alguna ocasión en un programa de televisión de una cadena educativa apareció un profesional del área económica afirmando que la matemática no es ciencia). Me parece que la matemática es la ciencia latente en muchas otras disciplinas siempre que se busque estructurar los hallazgos en dichas ciencias, o generalizar las relaciones entre algunos de los distintos elementos que las componen.

Algunos de los más entusiastas admiradores de las matemáticas podrán incluso decir que ellas norman las relaciones entre muchas variables de los fenómenos del mundo real. Yo no iría tan lejos. Pienso que, como ya he dicho, las matemáticas son sin duda importantes per se y por sus aplicaciones en otras áreas de la ciencia y la tecnología; pero no es que regulen el comportamiento de los fenómenos naturales. Proveen una pocas veces superable forma de explicarlos, pero en todo caso son una simplificación (por complicadas que puedan ser) o una abstracción de lo que realmente son los fenómenos observados, lo que quiera que eso signifique.

Y que conste que no estoy hablando de cosas dogmáticas, ya que no soy afín a ellas. Simplemente digo que no comulgo con el sobreapasionamiento con las matemáticas, ya que por importantes que sean sus aportaciones, casi estoy seguro que más de un lector estará de acuerdo con que todas las ciencias tienen sus limitaciones, justo allí donde otras obtienen su máximo desempeño.

Seguiremos hablando sobre algunos tópicos matemáticos en las entradas de esta bitácora.